VOLUMENES ISOMETRICOS

PERSPECTIVA Y PROYECCIÓN

PROYECCIÓN

La proyección gráfica es una técnica de dibujo empleada para representar un objeto en una superficie. La figura se obtiene utilizando líneas auxiliares proyectantes que, partiendo de un punto denominado foco, reflejan dicho objeto en un plano, a modo de sombra.

Los elementos principales de la proyección son –como muestran las figuras– el punto de vista o foco de proyección (V), el punto que se desea proyectar (A), el punto proyectado (A'), la línea proyectante (VAA') y el plano sobre el que se proyecta, que recibe diferentes denominaciones como plano de proyección, plano de cuadro o plano imagen (   ).

Clasificación general

Proyección	Tipo	Subtipo
Central	Varios tipos de perspectiva con puntos de fuga
Paralela	Ortogonal	Isométrica (Tres ángulos iguales (120º), coef. de reducción iguales)
		Dimétrico (Dos ángulos iguales, dos coeficientes distintos)
		Trimétrica (Tres ángulos y coeficientes distintos)
	Oblicua	Perspectiva caballera

Cuando todas las líneas proyectantes pasan por un punto, se habla de proyección central o proyección cónica, éste es el caso, por ejemplo, de la sombra de un objeto sobre una superficie cuando es alumbrado por una lámpara (foco puntual).

Es la adoptada en el sistema de representación cónico, o simplemente perspectiva cónica.

Una variante de este sistema de representación lo constituye la proyección estereográfica empleada para la representación plana de la superficie de una esfera, y que se obtiene proyectando todos los puntos de la esfera desde uno de ellos sobre el plano tangente en el punto diametralmente opuesto, o sobre un plano paralelo a este, trazado por el centro de la esfera.

Cuando las líneas proyectantes son paralelas –como el anterior objeto alumbrado por la luz del Sol–, se habla de proyección paralela o proyección cilíndrica. Es un caso particular de proyección central, donde el foco del haz proyectante estaría a distancia infinita.

El sistema diédrico

Es el caso del sistema diédrico, en el que además se cumple que las líneas proyectantes son perpendiculares (ortogonales) al plano de proyección. En este sistema, a diferencia de los demás, no se obtiene una representación volumétrica del objeto en perspectiva, sino su alzado, planta y perfil. A partir de dichas vistas, se puede conseguir una representación tridimensional del objeto en el sistema axonométrico, cuyas líneas proyectantes pueden ser tanto ortogonales como oblicuas, siendo la [[perspectiva caballera].

El dibujo acotado

Una variante del sistema diédrico, es que, en la práctica, no pueden describirse adecuadamente con los sistemas anteriormente señalados. Son muy utilizados en arquitectura, ingeniería, topografía, etc.

PERSPECTIVA

La perspectiva es el arte de dibujar para recrear la profundidad y la posición relativa de los objetos. En un dibujo, la perspectiva simula la profundidad y los efectos de reducción.

Perspectiva del Campidoglio, en Roma. Miguel Ángel diseñó la composición de esta pequeña plaza: dispuso los edificios laterales confluyendo hacia el fondo para reforzar la sensación de profundidad.

Es también la ilusión visual que, percibida por el observador, ayuda a determinar la profundidad y situación de objetos a distintas distancias.

Por analogía, también se llama perspectiva al conjunto de circunstancias que rodean al observador, y que influyen en su percepción o en su juicio.

Entre los años 1416 y 1420, Filippo Brunelleschi, artista y arquitecto florentino del renacimiento italiano, para poder representar los edificios en perspectiva, realizó una serie de experimentos con la ayuda de instrumentos ópticos; con ellos, descubrió los principios matemáticos y científicos que rigen la perspectiva. Uno de esos principios es que los objetos parecen más pequeños cuanto más lejos están. Sus logros se describen en De Pictura, un tratado sobre la pintura escrito por León Battista Alberti

Perspectiva cónica.

Auxiliados por la geometría, podemos simular el efecto visual de la perspectiva proyectando los objetos tridimensionales sobre un plano (bidimensional) utilizando los métodos de la perspectiva cónica. Recibe este nombre por el hecho de que las líneas paralelas de proyección parten de un punto (a modo de uncono). Mediante este procedimiento se pueden obtener imágenes realistas. Sin embargo, la perspectiva cónica no puede imitar fielmente la visión estereoscópica del ser humano.

Perspectiva cónica a mano alzada

Estas ayudas para realizar dibujos a mano alzada son de utilidad; pueden ser sencillas y mecánicas, pero también las hay más complejas.

Medición a ojo con el lápiz

Un método sencillo para calcular y comparar proporciones, sobre todo distancias verticales y horizontales, consiste en usar un lápiz como regla. Seleccionamos el objeto que queremos usar como parámetro para nuestro dibujo y luego tomamos un lápiz con la punta para arriba, sin olvidarnos de sostener el brazo bien estirado. Alineamos la punta del lápiz con la parte superior del objeto y el dedo con la parte inferior.

Esta medición nos permitirá calcular proporcionalmente los otros objetos. Hemos de estar seguros de que el lápiz se encuentre en posición totalmente vertical a la hora de medir profundidades. Para calcular el grado de inclinación o para medir horizontalmente, el lápiz habrá de estar perpendicular a la línea de visión.

Cálculo de un ángulo

§  Empezaremos con el lápiz en posición horizontal, y luego lo giraremos hasta que se encuentre sobre la línea. Así se determinará el ángulo. Trabajar midiendo a ojo es una técnica muy útil. El diagrama muestra cómo funciona este sistema para emprender un bodegón de un cubo sobre una mesita.

§  Si somos diestros, tendremos que mirar por el lado izquierdo del tablero de dibujo, de modo que la mano que dibuja no interfiera con las líneas de mira, perturbando la visión. Con el tablero en posición vertical y con un òjó cerrado, moveremos la cabeza ligeramente hacia la izquierda y hacia la derecha, hasta lograr que el borde del tablero pueda utilizarse como plomada para determinar el tamaño de cada parte de los objetos y, luego, marcaremos estos puntos en el borde del tablero. Esto es particularmente útil para dibujar figuras, pero también puede utilizarse con buenos resultados para dibujar paisajes o, como en este caso, una naturaleza muerta. Es un método consagrado, como lo demuestran las marcas en el borde de muchos dibujos de grandes maestros, lo cual demuestra que dibujaban midiendo a ojo.

Perspectiva a mano alzada. Boceto de Leonardo da Vinci.

§  Percibimos los objetos en un plano perpendicular a nuestra línea de visión. Al mirar de frente, el plano será vertical, como si hubiera un cristal suspendido frente a nosotros. Sin embargo, cuando dibujamos, el tablero puede estar inclinado, sobre las rodillas o sobre un caballete, de manera que hemos de mirar hacia abajo y, no obstante, tendemos a visualizar un plano vertical delante de nuestros ojos. Para traducir esta imagen vertical a un tablero colocado en cierto ángulo, debemos ajustar mentalmente las proporciones, cosa ésta que, sin duda, resulta compleja. Corremos el riesgo de ajustar en exceso, haciendo demasiado grande la parte inferior de lo que estamos dibujando. Probablemente para un principiante resulte más sencillo utilizar el tablero vertical, mientras va adquiriendo más práctica y experiencia.

§  Existe una excepción natural al uso del tablero vertical, que es cuando se dibuja un tema horizontal (por ejemplo, una naturaleza muerta o un paisaje). En esos casos, es mucho más fácil mirar por encima de la parte superior.

Otro sistema de representación gráfica es el de proyección paralela (similar a la proyección ortográfica). En este caso, las rectas proyectantes no convergen en un punto, sino que son paralelas, por lo que este sistema suele recibir también el nombre de proyección paralela. Este sistema no refleja fielmente la profundidad del espacio ni la distorsión de los ángulos, sin embargo, conociendo la escala de los ejes ortogonales, permite obtener la verdadera magnitud de los objetos dibujados.

Perspectiva axonométrica

Se pueden dibujar los ejes XYZ desde varias perspectivas, ya que produce un efecto visual particular en cada caso:

1.   Perspectiva isométrica: es una forma de proyección gráfica o, más específicamente, una axonométrica cilíndrica ortogonal. Constituye una representación de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes de referencia tienen ángulos de 120º, y las dimensiones guardan la misma escala sobre cada uno de ellos. La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.

2.   Perspectiva caballera: es un sistema de proyección paralela oblicua en el que, por convenio, el plano proyectante es horizontal y las secciones horizontales de los cuerpos representados se proyectan en verdadera magnitud.

3.   Perspectiva militar, es un caso particular de la perspectiva caballera.

4.   DIN 5: La perspectiva DIN-5 se corresponde a la UNE 1-031-75 B.

La perspectiva DIN-5 es la norma que recomienda una perspectiva axonométrica ortogonal dimétrica especifica, que se caracteriza por formar 131º 25' entre los ejes XY y ZY, y 97º 10' entre XZ. Los coeficientes de reducción sobre los ejes X y Z son 2·(raíz cuadrada de 2)/3 = 0'943, y en el eje Y es (raíz cuadrada de 2)/3 = 0'471, siendo la relación entre ellos cx = cz = 2·cy; o bien, ux : uy : uz = 1 : 1/2 : 1.

Debido a que los ángulos son tan fáciles de medir con un transportador, se suelen dibujar trazando primero el eje Z en vertical y, sobre él, una medida aleatoria (la unidad), a partir de lo cual se traza un triángulo de lados la unidad y una vez y media la unidad.

El lado del triángulo formado con la unidad es el eje Y, mientras que el eje X es perpendicular al lado formado por una vez y media la unidad. A partir de su extremo.

LETRA TÉCNICA

La clase de letra más usada corrientemente es la gótica comercial, a base de trazo simple. Las letras pueden ser mayúsculas o de caja alta y minúsculas o de caja baja, ambas a base de tipo inclinado o vertical. En algunas empresas se emplea exclusivamente el tipo vertical; en otras el tipo inclinado. Y, finalmente, algunas veces emplean letras verticales para los títulos y letras inclinadas para dimensiones y notas, u otras combinaciones. El delineante que quiere ocupar una plaza en alguna empresa habrá de adaptarse a la costumbre de la misma. El estudio y la práctica dan el dominio perfecto de la forma y dimensiones de cada letra. Períodos cortos de práctica, pero frecuentes, dan maestría en el rotulado. Finalmente hay que combinar las letras uniformemente para obtener palabras fáciles de leer. Rectas de guía. Para conseguir letras uniformes, deben trazarse líneas de guía que delimitaran la altura de las letras. Estas líneas serán de trazo muy fino y a lápiz. La distancia entre líneas de letras se toma generalmente de media vez a vez y media la altura de las mayúsculas. Se empieza señalando la altura de las mayúsculas en la primera línea, y a continuación se pone en el compás de puntas secas la distancia escogida entre bordes inferiores de letras, marcando de esta manera dichos bordes inferiores. Haciendo lo mismo con los bordes superiores, tendremos situadas las líneas de guía que necesitamos. La práctica de escritura de las letras debe proceder lógicamente a la escritura de palabras y frases. Es conveniente poner atención especial a los números y fracciones, que constituyen parte esencial del acotado de un dibujo. Rotulado a lápiz. El orden de los trazos y las dimensiones de las letras deben aprenderse practicando primeramente con el lápiz antes de ensayar con tinta. La mina debe afilarse de forma que se obtenga una larga punta cónica. La presión del lápiz sobre el papel debe ser lo más uniforme posible y es conveniente acostumbrarse a hacer rodar el lápiz entre los dedos cada tres o cuatro trazos, para conseguir una mayor uniformidad. El lápiz debe sostenerse en la mano con la fuerza mínima necesaria para controlar los trazos. Rotulado a tinta. El término trazo simple significa que el grueso de los palos y ganchos de las letras es uniforme e igual al grueso del trazo de la pluma. La pluma de rotular, por tanto, debe hacer trazos uniformes del grueso adecuado al tamaño de la letra, en todas direcciones. Mayúsculas verticales de trazos simple. Los trazos verticales se ejecutan de arriba a abajo y los horizontales de izquierda a derecha. Los números. Requieren, especial atención. Nótese que su forma difiere bastante, como las de las letras, de los usados en la escritura normal. Quebrados. Se hacen siempre con la línea de cociente horizontal. Los términos de la fracción tienen aproximadamente los dos tercios de la altura de los números enteros. Hay que dejar un pequeño espacio por encima y por debajo de la línea de quebrado. Minúsculas verticales. La altura del cuerpo de unos dos tercios de las mayúsculas. Mayúsculas inclinadas. Dos puntos hay que tener siempre presentes en este tipo de escritura: primero, conservar una inclinación uniforme en todas las letras y segundo, conseguir la forma correcta de las partes curvas de las letras redondeadas. Las minúsculas inclinadas. Se acostumbran a utilizar en las notas aclaratorias por dar rapidez en la escritura y claridad en la lectura. Sus cuerpos tienen una altura de los dos tercios de las mayúsculas con los palos por arriba hasta la guía superior y los palos hacia abajo de la misma longitud. “Las letras que constituyen una palabra no se ponen a igual a distancia unas a otras, sino que hay que procurar que sus separaciones relativas, o sea, las áreas de los espacios blancos entre ellas sean iguales, lo que produce la impresión de estar separadas uniformemente. Así, dos letras de trazos Rectos estarán más distantes entre sí que otras dos redondeadas. ”INCLINACIÓN. La inclinación de las letras y números con respecto a la línea sobre la cual se trazan será 75º o 90º

DIBUJO TÉCNICO

Letras y Números

NORMAS A CONSULTAR
1.1 Para la aplicación de esta norma no es necesaria la consulta específica de ninguna otra.

2. OBJETO
2.1 Establecer los tamaños y características de las letras y números a utilizar en dibujo técnico.

3. CONDICIONES GENERALES
3.1 ALTURAS Y ESPESORES
3.1.1 Las alturas nominales de las letras y números de los espesores optativos “A” y “B” serán los indicados en la Tabla I.
3.1.2 Las letras mayúsculas, minúsculas, los números y los renglones se relacionarán entre sí (Fig.1).
3.1.3 Partiendo de una altura nominal “A” se determinarán para las letras y números las características indicadas en la Tabla II.
3.2 INCLINACIÓN. La inclinación de las letras y números con respecto a la línea sobre la cual se trazan será 75º o 90º (Fig.2/3).
3.3 ANCHO. El ancho de las letras y números, tomando como base al cuadriculado de las figuras 2/3, podrá variarse a voluntad.

Rectas de guía. Para conseguir letras uniformes, deben trazarse líneas de guía que delimitaran la altura de las letras. Estas líneas serán de trazo muy fino y a lápiz. La distancia entre líneas de letras se toma generalmente de media vez a vez y media la altura de las mayúsculas. Se empieza señalando la altura de las mayúsculas en la primera línea, y a continuación se pone en el compás de puntas secas la distancia escogida entre bordes inferiores de letras, marcando de esta manera dichos bordes inferiores. Haciendo lo mismo con los bordes superiores, tendremos situadas las líneas de guía que necesitamos. La práctica de escritura de las letras debe proceder lógicamente a la escritura de palabras y frases. Es conveniente poner atención especial a los números y fracciones, que constituyen parte esencial del acotado de un dibujo.

Rotulado a lápiz. El orden de los trazos y las dimensiones de las letras deben aprenderse practicando primeramente con el lápiz antes de ensayar con tinta. La mina debe afilarse de forma que se obtenga una larga punta cónica. La presión del lápiz sobre el papel debe ser lo más uniforme posible y es conveniente acostumbrarse a hacer rodar el lápiz entre los dedos cada tres o cuatro trazos, para conseguir una mayor uniformidad. El lápiz debe sostenerse en la mano con la fuerza mínima necesaria para controlar los trazos.

Rotulado a tinta. El término trazo simple significa que el grueso de los palos y ganchos de las letras es uniforme e igual al grueso del trazo de la pluma. La pluma de rotular, por tanto, debe hacer trazos uniformes del grueso adecuado al tamaño de la letra, en todas direcciones.

Mayúsculas verticales de trazos simple. Los trazos verticales se ejecutan de arriba a abajo y los horizontales de izquierda a derecha.

Los números. Requieren, especial atención. Nótese que su forma difiere bastante, como las de las letras, de los usados en la escritura normal.

Quebrados. Se hacen siempre con la línea de cociente horizontal. Los términos de la fracción tienen aproximadamente los dos tercios de la altura de los números enteros. Hay que dejar un pequeño espacio por encima y por debajo de la línea de quebrado.

Minúsculas verticales. La altura del cuerpo de unos dos tercios de las mayúsculas.

Mayúsculas inclinadas. Dos puntos hay que tener siempre presentes en este tipo de escritura: primero, conservar una inclinación uniforme en todas las letras y segundo, conseguir la forma correcta de las partes curvas de las letras redondeadas.

Las minúsculas inclinadas. Se acostumbran a utilizar en las notas aclaratorias por dar rapidez en la escritura y claridad en la lectura. Sus cuerpos tienen una altura de los dos tercios de las mayúsculas con los palos por arriba hasta la guía superior y los palos hacia abajo de la misma longitud.

“Las letras que constituyen una palabra no se ponen a igual a distancia unas a otras, sino que hay que procurar que sus separaciones relativas, o sea, las áreas de los espacios blancos entre ellas sean iguales, lo que produce la impresión de estar separadas uniformemente. Así, dos letras de trazos rectos estarán más distantes entre sí que otras dos redondeadas.”
Inclinación. La inclinación de las letras y números con respecto a la línea sobre la cual se trazan será 75º o 90º

Pautas que debe observar una rotulación correcta

Las letras de cada párrafo deben ser de la misma altura, apoyarse sobre el renglón y mantener la misma inclinación.
Deben asimilarse a los modelos normalizados o propuestos más arriba.
Los espesores de los trazos deben ser uniformes. Para lograr estos puntos se deberán tener en cuenta las siguientes observaciones:
Líneas de guía. Trazar líneas de guía horizontales para utilizar como renglones y limitar la altura de letras mayúsculas, minúsculas y trazos por debajo del renglón. La separación entre líneas de guía horizontales se fijará de acuerdo a la altura de letras a dibujar y según indica la tabla I de la norma IRAM 4503. Las letras deben apoyarse sobre las líneas de guía y alcanzar la altura correspondiente. De esta forma se asegura un rótulo horizontal, no ondulante y letras de la misma altura.

Trazar líneas de guías verticales o inclinados a 75º, según el tipo de letra a dibujar de modo que ayude a mantener la misma inclinación o verticalidad en todo el texto. Las líneas de guía deben ser apenas perceptibles para el dibujante. Serán apenas apreciables al mirar cuidadosamente el dibujo.

Utilizar lápiz duro y muy poca presión del lápiz sobre el papel. Debe quedar claro que estas líneas se deben diferenciar netamente de las líneas de trazado definitivo.

HISTORIA DEL DIBUJO TÉCNICO

Desde la prehistoria los primeros hombres utilizaron el dibujo como una forma de comunicación, por medio de figuras de tamaño reducido, ubicados en (abrigos) rocosos, covachas y el interior de cuevas.

Desde estos tiempos, muy remotos se ha usado un lenguaje universal, un lenguaje gráfico, que permitió a los más antiguos hombres comunicar sus ideas y pensamientos entre sí. Estos dibujos constituyen las formas más primitivas de escritura, que luego se convirtió en símbolos usados en la escritura actual.

El hombre desarrolló la representación gráfica en dos direcciones distintas, atendiendo a su propósito: La Artística y Técnico.

Desde el comienzo de los tiempos, los artistas utilizaron dibujos para expresar ideas estética, filosóficas o abstractas grafía, En los tiempos antiguos grafía, prácticamente todo el mundo era iletrado. No existía la imprenta, y por tanto, no había periódicos ni libros se escribían como los hay en asequibles al público en general. Las gentes aprendían escuchando a sus nuestros días. Los libros se escribían a mano en papiro o en pergamino y no eran superiores y mirando esculturas, cuadros o dibujos en los lugares públicos. Todos podían atender un, cuadros, y éstos eran la fuentes principal de información.

El artista no era simplemente un artista en sentido esté, era un maestro o un filósofo, un medio de expresión y de comunicación. La otra directiva que guió al dibujo en su desarrollo fue la historia la técnica. Desde los comienzos de la historia registrada, el hombre se valió de dibujos para representar su diseño de los objetos por fabricar o construir. No queda rastro alguno de estos primeros dibujos, pero se sabe en forma definitiva que el hombre usó dibujos, porque no podría haber diseñado y construido lo que hizo sin usar dibujos relativamente precisos. En la Biblia se hace la aseveración de que el Templo de Salomón" se construyó con piedras labradas antes de llevarlas a su lugar. Cada piedra y madero se labró con herramientas para darle forma, se llevó al lugar y se le ajustó en un sitio. Es evidente que se usaron dibujos exactos, que mostraran las formas y los tamaños de las partes componentes para el diseño del templo. Además, pueden verse en nuestros días, las ruinas de antiguos edificios, acueductos, puentes y otras estructuras de buena concepción, que no pudieron haberse levantado sin dibujos preparados cuidadosamente que sirvieran de guía a los constructores. Muchas de estas estructuras aún se consideran como ´´maravillas del mundo´´. El Templo de Amón, por ejemplo que se encuentra en Karnak, Egipto, que se terminó alrededor del año 980 a .C. y cuya construcción tomó siete siglos. Sólo en lo que toca a masa de piedra, este edificio rebasó a cualquiera estructura techada que se haya construido alguna vez, hasta donde se sabe, teniendo por dimensiones 1200 pies de longitud y 50 pies de anchura, en su parte más amplia. De modo semejante, el gran circo romano fue una estructura de enormes proporciones, según el historiador Plinio, podían acomodarse sentados un total dc 250.000 espectadores.

Hoy en día, se está produciendo una confluencia entre los objetivos del dibujo artístico y técnico. Esto es consecuencia de la utilización de los ordenadores en el dibujo técnico, con ellos se obtienen recreaciones virtuales en 3D, que si bien representan los objetos en verdadera magnitud y forma, también conllevan una fuerte carga de sugerencia para el espectador.

Primeras manifestaciones:       

La primera manifestación conocida del dibujo técnico está en un dibujo de construcción que aparece esculpido en la estatua del rey sumerio Gudea quien gobernó entre 2,144 - 2,124 ó 2,122 A.C., llamada El arquitecto, y que se encuentra en el museo del Louvre de París. En dicha escultura, de forma esquemática.

Del año 1650 a. C. data el papiro de Ahmes. Este escriba egipcio, redactó, en un papiro de 33 por 548 cm, una exposición de contenido geométrico dividida en cinco partes que abarcan: la aritmética, la estereotomía, la geometría y el cálculo de pirámides. En este papiro se llega a dar un valor aproximado del número π.

En el año 600 a. C., encontramos a Tales, filósofo griego nacido en Mileto. Fue el fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tenía conocimientos en todas las ciencias, pero llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía, después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a. C. Se dice de él que introdujo la geometría en Grecia, ciencia que aprendió en Egipto. Sus conocimientos, le sirvieron para descubrir importantes propiedades geométricas. Tales no dejó escritos; el conocimiento que se tiene de él, procede de lo que se cuenta en la metafísica de Aristóteles.

En el año 300 a. C., encontramos a Euclides, matemático griego. Su obra principal Elementos de geometría, es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como: geometría plana, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio (Véase Geometría euclidiana. Probablemente estudio en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría, y allí fundó una escuela de matemáticas.

Arquímedes (287-212 a. C.), notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica. Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, (Egipto).

 Inventó formas de medir el área de figuras curvas, así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas. Demostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo, y estableció que este número estaba en 3 10/70 y 3 10/71.